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《超简交易》连载5:正态分布与均值回归

一、正态分布

正态分布(Normal distribution),也称常态分布,是统计学中最重要的一种概率分布。正态分布概念是由德国数学家与天文学家Moivre于1733年首次提出的,但由于德国数学Gauss(C.F.Gauss,1777-1855)率先将其应用于天文学研究,故此正态分布又称高斯分布(Gaussian distribution),是统计学中最重要的一种概率分布。

正态分布描述的是某件事出现不同结果的概率分布情况,属于一般规律。正态分布的概率密度函数曲线呈钟形,因此人们又经常称之为钟形曲线。钟形曲线的特点是:两头低,中间高,左右对称,曲线与横轴间的面积总等于1。如下图所示:

例如:假设抽样调查了一个学校100名18岁男大学生身高(cm),身高为随机变量、相互独立,服从正态分布。身高的均值μ为172.70cm,标准差σ=4.01cm。这说明:均值μ代表了这些男大学生身高的期望值(或平均身高),中等身高的人比较多,而特别高的和特别低的人比较少。均值μ加减一个标准差σ会有68.27%的男大学生身高处于这个范围,均值μ加减1.96个标准差σ会有95%的男大学生身高处于这个范围,均值μ加减2.58个标准差σ会有99%的男大学生身高处于这个范围。

正态分布对我们有什么意义呢?与正态分布关系紧密的一个现象是“均值回归”。

均值回归(Mean Reversion)是以正态分布假设为基础,认为事物在长期的变化过程中,总有向“平衡位置”(或均值位置)靠拢的倾向。“均值回归”现象是英国人弗朗西斯·高尔顿(FrancisGalton,1822-1911)发现的。高尔顿出身名门,与著名的查尔斯·达尔文(Charles Robert Darwin,1809-1882)是堂兄弟。

大约1875年,高尔顿用一种甜豌豆种子做实验,经过大量、艰辛的实验,高尔顿发现,母豌豆的直径变化范围比子豌豆直径的变化范围要大很多。母豌豆平均直径为0.18英寸,其变化范围为0.15~0.21英寸,或者说在平均值0.18英寸两侧各0.03英寸之内。子豌豆的平均直径为0.163英寸,其变化范围是0.154~0.173英寸,或者说是仅在平均值0.163英寸两边各0.01英寸范围内变动。子豌豆直径的分布比母豌豆直径的分布更为紧凑。

这种回归,在自然界是非常必要的。因为如果这种回归的进程不存在的话,那么,大豌豆会繁殖出更大的豌豆,小的豌豆会繁殖出更小的豌豆……如果这样,这个世界就会两极化,只有侏儒和巨人。大自然会使每一代变得越来越畸形,最终达到我们无法接受的极端。均值回归原理适用于日常生活,比如在体育运动方面,人人都有一个平均水平,只是有时会超水平发挥,有时会低于平均水平。任何一连串的重复活动,其结果通常都会接近平均值或中间值。

例如:打网球时连续挥拍24次,如果有一个球打得特别好,下一个球及可能有点拖泥带水。如果不小心打了一记球,下一个球通产会打得漂亮一点。均值回归原理在自然领域获得了验证,它又与一些社会现象颇为相似,例如:“天下大事,分久必合,合久必分”、“繁荣的必将衰亡,衰亡的必将繁荣”、“富不过三代”、“君子之泽,五世而斩”……等等。

均值回归原理也激发了各种风险承担和预测理论的产生。在圣经中,当约瑟夫对法老王预言“七个富年后必是七个荒年”的时候,他一定已经知道这是事物注定的规律了。而当J.P.摩根认为“市场是波动的”的时候,他所要表达的也正是这个意思。乔治·索罗斯也说:“凡事总有盛极而衰的时候,大好之后便是大坏”。

正如大多数人类活动一样,股市中价格的均值回归从理论上讲具有必然性。因为有一点是可以肯定的,股票价格不能总是上涨或下跌,一种趋势不管其持续的时间多长都不能永远持续下去。在一个趋势内,股票价格呈持续上升或下降,我们称之为均值偏离(Mean Aversion,也叫均值回避)。当出现相反趋势时就呈均值回归(Mean Reversion)。

这也是许多投资者所坚信的信条:当他们说某只股票已经“高估”或者“低估”时,他们指的是恐惧和贪婪使得人们推动股价远离了它的“内在价值”,但是股价最终是要回归的。

二、何时回归

巴菲特:“我觉得要预测会发生什么比较简单,但预测何时发生会比较困难”。“内在价值”,也许真的会“回归”,但关键在于什么时候回归。

不同的股票市场,回归的周期不一样,就是对同一个股票市场来说,每次回归的周期也不一样。有时,长期趋势来得太迟,即便均值回归原理发挥了作用,也无法拯救我们了。到目前为止,均值回归原理仍不能预测的是回归的时间间隔,即回归的周期“随机漫步”。

一次,经济学家凯恩斯说道:“先生们,从长远来看,我们都会死掉的。”如果在狂风暴雨的季节里,经济学家仅能预言:很久后风暴会过去的,一切又会恢复平静的,那么,他们的工作就太简单、太无用了。如果一个人永远强调房价会跌(或股价会涨),那么这人更适合做民意代表,而不是预测者。从长远看,没有只涨不跌的商品。如果不顾事实,永远说会跌,这个猜硬币正反有何区别?只要不改口,硬币总有出反面的时候。

难道均值回归只是一种中看不中用的理论吗?在后续章节中,将会给出变通的方法,讲述如何利用均值回归原理,来捕捉行情走势的波动。

三、回归何处

均值回归是一个简单的概念:身材非常高的父母所生的孩子,一般会比他们的父母矮;而身材非常矮的父母所生的孩子,一般会比他们的父母高。对于大多数人来说,这是个很容易理解的概念。将这个观点应用到证券价格的波动中,意味着证券价格会返回到平均值。

但是,我们遇到一个问题,身高的反转是两代人之间的生理现象,而价格反转是一个实时的动态过程。还有一个重要问题就是“均值”怎么确定。均值本身到底是多少,在经济生活中却是个很模糊的数字。昨天的均值很可能被今天新的正常值所取代,而我们对这个正常值却一无所知。如果仅仅因为过去的经验,认为会回归到原来的均值上去,那是很危险的事情。

有人认为巴菲特是价值投资理念,也是基于均值回归原理,但是学巴菲特的人多如牛毛,能够成功的鲜如牛角。查理·芒格作为沃伦·巴菲特的最佳拍档,有“幕后师爷”和“终极秘密武器”之称。

有人曾问:如何评估一只股票的“内在价值”?

芒格回答:搞清一只股票的“内在价值”,远比成为一个鸟类学家难得多。

依靠均值回归预测未来是十分危险的,因为均值本身就变化不定。


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