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数学的视觉盛宴

数字是否曾令你头疼?你是否曾经觉得那些数学公式枯燥又无味?但在艺术的王国里,它们可是十分生动有趣的。北京故宫、巴黎圣母院、罗丹的雕塑“思想者”,可都包含着数学原理呢。下面的艺术品,不是艺术家们天马行空想象出来的,它们都是数学原理实践的成果。

双曲型灯罩(编织物)

学过数学的你,一定知道“几何之父”欧几里得,他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础。我们学习的许多公理,都有欧式几何的影子。例如“若△ABC满足∠ABC=90°,作BD⊥AC”,就是从他的射影定理扩展出来的。

但是,他的一个公理的假设,曾经难倒了大批数学家。这个公理就是平行公理。

为了便于理解,想象一条直线,以及直线之外的任意一点,你可以通过这一点,画出一条与该直线平行的直线吗?欧几里得的回答是可以,而且有且仅有一条。

但平行公理并不像其他公理那么易于证明。自公元前3世纪起到公元19世纪初,数学家们投入了无穷无尽的精力,他们几乎尝试了各种可能的方法,但都以失败告终。数学家们甚至发出了这样的质疑:“欧几里得,你可以证明它的存在吗?而不仅仅是假设……”

1826年,俄国数学家罗巴切夫斯基用一个简单的回答震惊了世界,他的回答是“不是这样的!”在罗巴切夫斯基的非欧几何中,通过一个特定的点,存在着许多条直线可以与指定的直线不相交。

罗氏几何的创立对几何学和整个数学的发展起到了巨大的推动作用,但一开始并没有得到足够的重视,反而遭到种种歪曲、非难和攻击。即使如此,在20世纪初期,物理学家兰道还是意识到没有任何一条欧几里得定律能与罗巴切夫斯基的公理相媲美,后者将能更好地描述我们的物理世界。当然,唯一不足的是视觉化这一公理十分困难。

现在,这个问题由一件针织物解决了。让我们走进编织大师——迈耶的世界,他编织的双曲型灯罩,是帮助人们视觉化罗巴切夫斯基几何的绝佳工具。

想象下你正在钩编一个平面方形物体。与普通编织不同的是,你每换一行,针数会增加10%,这样,针数会以几何级数的速度增长。如果第一行有10针,只需要25行后,每一行的针数将会超过100针,在50行后,将会超过1000针,伴随着这么多额外的针数,针织品不会是扁平的,它会膨胀,并且呈现波浪状。

迈耶从编织一个普通的螺旋物开始,为了避免针织物扁平化,她会在边角处增加足够的针数,因而编织出了能捕捉到光或者让光穿过的波浪状的褶皱边角。

随着针数的增加,针织物会无限地膨胀和延伸,这些直线将永远不会与这条直线相交,这件漂亮的针织物视觉化了罗氏几何定律。

黄昏景色(数字化艺术)

大多数艺术家用画笔描绘着色彩的王国,但也有艺术家利用数学公式创造出了视觉大餐。他们是怎么做到的呢?这是因为函数有两个重要特性:它们能被定义,例如你列一个函数对等式y=2x+1,可以规定x的量,就能得出一定的结果。同时,这个对等式也能运用在计算机程序中。

艺术家艾蒂安·阿曼特能够将函数中每一个数字与一种色彩相对应,这样,每一个函数表达式将会得到一个对应的图形。例如,为了创造如上图所示的黄昏景色,阿曼特会用到多个函数公式,既有描述空气里物质微粒随机弹跳和抖动的函数(这种悬浮微粒随机撞击的现象也称为布朗运动),也有能产生波光粼粼的湖面效果的函数,这两个函数与另一个能生成装饰背景的函数共同构成了如图所示的画面效果。

分形的气虹(数字化艺术)

与大多数人选择在家看电视放松不同的是,高中数学老师丹尼尔·格里斯觉得玩电脑是一种很好的放松方式,当然不是打游戏,而是通过编程制造出数字化的艺术作品。

这个作品起源于格里斯想尝试让电脑画出一个不规则的圆,效果要像是出自一只晃动的手画出来的样子。来源于分形理论的技术为格里斯提供了理想的工具。利用这个技术,格里斯能在不同的区域创造出相似的晃动,仿佛将轻微抖动的手指与正经历着更大颤抖的手腕结合了起来,共同缔造出了流动着的不规则效果。

同时,格里斯在人造手绘画面中心的边缘上,绘制出了一些可爱的小点。在分形技术下,格里斯让圆在适当变形的基础上,慢慢地在页面上延伸。同时,用不同的颜色连接圆上的每一个点。这样,一幅巧夺天工的分形图形就呼之欲出了。

异域天使(数字化艺术)

弗朗西斯科·科米特的画作“异域天使”的创作理念,可以追溯到2300年前的古希腊几何学家阿波罗·尼奥斯,阿波罗的圆锥曲线直接启发了科米特的创作灵感。

为了制作一幅“异域天使”,首先需要做成一个阿波罗盘垫。你可以先画三个相切的小圆,随后画一个大圆与它们内切。在三个圆相切的所有区域,画上第四个圆与三个圆相切。一直重复上面的步骤,最后,你会得到一张精致的盘垫。这就是阿波罗盘垫,也被科米特形象地命名为“异域天使”。

阿波罗盘垫的一个显著特性就是,如果你将任意一个圆的内部区域看成整体,当放大它们的时候,无论圆的大小如何,都会呈现相同的形状。在数学上,这种现象被称为分形,即在任意小的尺度上都能有精细的自相似的结构。

但这也提出了一个棘手的数学难题:你怎么样让你的第四个圆正好放在三个圆相切的区域?阿波罗自称知道方法,但因时间久远,阿波罗记有如何创作第四个圆的著作失传了。

在文艺复兴时期,有关第四个圆的迷思再次掀起波澜,许多学者自告奋勇地试图重现阿波罗已经失传的方法。遗憾的是,都未成功。

1643年,笛卡尔发现了计算出第四个圆半径的方法,但他仍然没找到让第四个圆正好放在正确区域的方法。直到20世纪90年代,AT&T实验室的艾伦·威尔克斯与柯林·马琳最终找到了谜一样的第四个圆。当然,他们不得不借助电脑完成。

电脑现在已经能很快速地制作出阿波罗盘垫,而制造出的效果出乎意料地精美绝伦。将大圆的下半圆的中间区域,用不同的颜色标注出来,并用规则的形状连接起来,甚至还能看到一个长着翅膀的“异域天使”。

蓝色的太阳

(手绘的数字化艺术)

身披沙丽的波斯女人,正摇曳着身姿,赤脚在精致的波斯毯上翩翩起舞,骆驼队驮着异域珍宝在沙漠中列队前行……提到波斯,总能带给人无限的遐想。而传统的波斯艺术,也走出了时光的囹圄,与现代的数字化手段结合,获得了新的生命力。譬如这幅“蓝色的太阳”。

摩根·丽萨是一位专攻波斯塔齐布艺术的艺术家。塔齐布富有浓厚的波斯传统的艺术风格,常用来装饰中世纪圣书的边角和扉页。礼萨·沙汉吉则是美国马里兰州陶森大学一名研究数字艺术的数学家,钟情于波斯风的砖瓦装饰雕绘。这幅“蓝色的太阳”就是圣书装饰艺术和砖瓦雕绘艺术的结晶,也是他们两人合作的成果。

“蓝色的太阳”的中心结构是十角星。早在几个世纪前,波斯艺术家们已经将这种有十个棱角的几何形状,融入到了他们的艺术创作中。

要创造一个十角星,首先需要画一个五边形,然后将另外一个五边形顺时针旋转36度,放于第一个五边形之上。擦掉多余的边线,留下边角,一个十角星就制作出来了。

“蓝色的太阳”由4个同轴的十角星构成。礼萨·沙汉吉在十角星之间最外层和最里层的区域,采用了波斯的砖瓦雕饰风格,当然,仅仅是用了那些能用直尺和罗盘就能画出来的图纹。而丽莎采用波斯传统的茎、叶子和花朵的形象,创造了一种塔齐布风格,将其填充在了两个较大的中间区域。两个艺术家们联合创造出了10级旋转对称图形。从图像的中心画一条直线,将每条边切成两半,沿着它对折,对折后各角的边也会相等。

所以,制作波斯风格砖瓦的艺术家们都是数学家,即使他们并不会去证明任何公理,但他们依旧展现了只有数学家才懂得的数学技巧。

欢乐之心(木雕)

美国雕塑家乔治·哈特的“欢乐之心”的绝妙处就在于,它没有用任何固定物,仅仅通过拼接和嵌套,就造就了一个有着稳定形态的木雕艺术品。

两个小的结构支撑起了这个木雕。第一个结构为互相交织的6个五边形,每一个五边形都不会得到任何支撑而孤立地悬浮着。第二个结构则是5个内部嵌套的四面体(四面体为三角形底座的金字塔形),同样,四面体彼此独立。如果单独放置,每一个结构都会散架,但当两个结构嵌套在一起时,它们的悬浮状态找到了支撑。

这个木雕中的每个结构都有30条边,我们知道,每一个五边形有5条边,6个五边形一共30条;而5个四面体中,每一个四面体都有6条边,这样,边数总和也是30条。哈特让五边形的边缘呈现锯齿状,让四面体的边缘呈现像波浪一样上下起伏的效果。然后,将每一条锯齿状五边形的边与大波浪纹的四面体的边嵌套,30块激光切割的这样组合的木片,就制造出了这个漂亮的木雕。

这个木雕看起来很复杂,但其实也是用到了数学原理——菱面三十面体。菱面三十面体,最知名的应用当属在《龙与地下城》游戏中的30面死亡陷阱,30面体的骰子被作为游戏道具,用来表示怪物的生命强度和位置。但游戏里的30面体仅仅是一个噱头,而“欢乐之心”里的菱面30面体,指的是拥有棱角和平面的30个棱形的组合。

事实上,除了这些人造的艺术品,在我们的大自然中,也无时无刻在上演着“数字艺术”。蝴蝶翅膀的花纹图案和色彩是左右对称的,花朵具有旋转对称的性征,树叶沿茎杆呈螺旋状排列。可见,我们的大自然早就深谙数学之道。


(本文源自大科技*科学之谜2016年第2期文章)

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